Кут — це одна з основних геометричних фігур, що характеризує взаємне положення двох напрямків. У класичній евклідовій геометрії кут виникає як результат перетину або виходу з однієї точки двох променів або прямих.

Кути вивчаються у двох розділах геометрії:

  • планіметрії (геометрія на площині),
  • стереометрії (геометрія в просторі).

Плоский кут

Означення

Плоский кут — це геометрична фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки.
Точка, з якої виходять промені, називається вершиною кута, а промені — сторонами кута.

Позначення

Кут позначають знаком ∠ і трьома літерами:

  • ∠ABC — вершина кута знаходиться в точці B.

Вимірювання кутів

Плоскі кути вимірюють у:

  • градусах (°) — найпоширеніша одиниця,
  • радіанах — використовуються в тригонометрії та математичному аналізі.

Повний оберт дорівнює:

  • 360° або
  • (2pi) радіан.

Класифікація плоских кутів за величиною

Назва кута Величина
Нульовий 0°
Гострий 0° < α < 90°
Прямий 90°
Тупий 90° < α < 180°
Розгорнутий 180°
Повний 360°

Класифікація кутів за взаємним положенням

  • Суміжні кути — мають спільну сторону, а інші сторони утворюють пряму.
  • Вертикальні кути — утворені при перетині двох прямих; рівні між собою.
  • Відповідні, внутрішні різносторонні, внутрішні односторонні — виникають при перетині паралельних прямих січною.

Тілесний (просторовий) кут

Означення

Тілесний кут — це геометрична фігура у просторі, утворена декількома півплощинами, які:

  • мають спільну вершину,
  • перетинаються по спільних ребрах.

Тілесний кут є просторовим узагальненням плоского кута.

Елементи тілесного кута

  • Вершина — спільна точка всіх ребер.
  • Ребра — промені, що виходять з вершини.
  • Грані — півплощини, обмежені ребрами.

Приклади тілесних кутів

  • Кут у вершині куба
  • Кут у вершині піраміди
  • Кут між трьома взаємно перпендикулярними осями координат

Види тілесних кутів

  • Тригранний кут — має три грані (найпростіший тип)
  • Багатогранний кут — має більше ніж три грані

Плоскі кути тілесного кута

Кути між кожною парою граней тілесного кута називаються плоскими кутами тілесного кута. Саме ці кути зазвичай використовують для дослідження властивостей тілесних кутів.

Вимірювання тілесних кутів

На відміну від плоских кутів:

  • тілесні кути не мають простого градусного виміру у шкільній геометрії;
  • у вищій математиці використовується поняття тілесного (просторового) кута, який вимірюють у стерадіанах.

Повний тілесний кут дорівнює 4π стерадіан.

Порівняння плоского і тілесного кутів

Ознака Плоский кут Тілесний кут
Розмірність Двовимірний Тривимірний
Середовище Площина Простір
Кількість сторін 2 промені ≥ 3 ребра
Вимірювання Градуси, радіани Стерадіани
Розділ геометрії Планіметрія Стереометрія

Значення в науці та практиці

Кути і тілесні кути мають фундаментальне значення в:

  • геометрії та тригонометрії,
  • фізиці (оптика, механіка),
  • інженерії та архітектурі,
  • комп’ютерній графіці та 3D-моделюванні,
  • астрономії та навігації.
rad = 57.29578o
  = 3437.737′
  = 206264.8″
ster = 32400/π2
  = 3282.8□o
  = 1.1818×107□’
  = 4.2545×1010□”
4π ster = 41252.642□o
1o = 0.0174533 rad
1′ = 2.90888×10-4 rad
1″ = 4.848137×10-6 rad
1□’ = 8.4617×10-8 ster
1□” = 2.3504×10-11 ster

Кут є базовим поняттям геометрії, що дозволяє описувати взаємне розташування прямих, площин і тіл. Плоскі кути застосовуються для опису фігур на площині, тоді як тілесні кути дають змогу досліджувати просторові об’єкти та багатогранники. Разом ці поняття утворюють фундамент для подальшого вивчення геометрії та суміжних наук.

Дещо інше: