Похідна функції — це міра того, як швидко змінюється значення функції при зміні її аргументу. Інакше кажучи, похідна показує швидкість зміни функції в кожній точці.
Формальне визначення:
Похідна функції f(x) у точці x — це границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст прямує до нуля:
f'(x) = lim (Δx → 0) [f(x + Δx) – f(x)] / Δx
Це означає: ми беремо дуже маленьку зміну Δx і дивимося, наскільки змінилося f(x). Якщо ця межа існує — це і є похідна.
Приклад:
Нехай функція f(x) = x^2.
Тоді її похідна:
f'(x) = 2x
У точці x = 3:
f'(3) = 2 * 3 = 6
Це означає, що в цій точці графік функції зростає зі швидкістю 6 одиниць по вертикалі на кожну одиницю по горизонталі.
Геометричний зміст:
Похідна в точці — це тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці.
- Якщо f'(x) > 0 — функція зростає.
- Якщо f'(x) < 0 — функція спадає.
- Якщо f'(x) = 0 — можливо, це максимум, мінімум або точка перегину.
Побутовий приклад:
Уявіть, що функція f(t) описує шлях, який пройшла машина за час t.
Тоді похідна f'(t) — це швидкість машини в момент часу t. Вона показує, як швидко змінюється положення об’єкта в певну мить.