Теорема Піфагора : прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Формула:
c² = a² + b²
де:
c — довжина гіпотенузи,
a і b — довжини катетів.
Доведення Теореми Піфагора (геометричне, через площу квадратів):
- Побудуємо великий квадрат зі стороною (a + b). Його площа дорівнює:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
- Усередині цього квадрата розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники з катетами a і b та гіпотенузою c.
Площа одного такого трикутника дорівнює:
(1/2) * a * b
Площа чотирьох трикутників:
4 * (1/2) * a * b = 2ab
- В середині великого квадрата залишиться порожнє місце у вигляді меншого квадрата зі стороною c (гіпотенуза трикутника). Площа цього внутрішнього квадрата дорівнює:
c²
- Тепер обчислимо площу великого квадрата іншим способом: як сума площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата:
Площа = 2ab + c²
- Оскільки це той самий квадрат, обидві формули мають бути рівні:
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
Віднімаємо 2ab з обох боків:
a² + b² = c²
Це і є теорема Піфагора.