Брук Тейлор — англійський математик, механік і теоретик перспективи XVIII століття, один із найважливіших учених раннього етапу розвитку математичного аналізу. Він увійшов в історію науки насамперед як автор теореми та ряду Тейлора — фундаментального інструменту математичного аналізу, фізики та інженерії. Тейлор також зробив значний внесок у теорію скінченних різниць, механіку коливань, геометрію та перспективу в мистецтві. Його праці стали важливим етапом розвитку після відкриттів Ньютона і підготували ґрунт для сучасного диференціального числення.

Загальна характеристика

Повне ім’я:
Brook Taylor

Дата народження:
18 серпня 1685 року

Місце народження:
Едмонтон, Міддлсекс, Англія

Дата смерті:
29 грудня 1731 року

Місце смерті:
Лондон, Англія

Основні галузі:

  • математика;
  • механіка;
  • геометрія;
  • теорія перспективи;
  • математичний аналіз.

Найвідоміші досягнення:

  • ряд Тейлора;
  • теорема Тейлора;
  • розвиток числення скінченних різниць;
  • дослідження коливань струн;
  • теорія лінійної перспективи.

Походження та родина

Брук Тейлор народився в заможній та освіченій англійській родині. Його батько:

John Taylor

був членом парламенту та підтримував розвиток у сина:

  • музичних здібностей;
  • інтересу до мистецтва;
  • математичних занять.

Мати:
Olivia Tempest

походила зі старовинного аристократичного роду.

Освіта

Початкову освіту Тейлор здобув удома.

У 1701 році вступив до:

University of Cambridge

де навчався у:
St John’s College.

Офіційно вивчав право, але основний інтерес приділяв математиці та природничим наукам.

Отримав ступені:

  • LL.B. у 1709 році;
  • LL.D. у 1714 році.

Формування наукових інтересів

На Тейлора вплинули праці:

  • Isaac Newton;
  • Gottfried Wilhelm Leibniz;
  • Johann Bernoulli;
  • René Descartes.

Він активно досліджував:

  • диференціальне числення;
  • нескінченні ряди;
  • геометричні методи;
  • механічні коливання.

Королівське товариство

У 1712 році Тейлор став членом:

Royal Society

Пізніше працював секретарем товариства.

Також брав участь у комісії, яка розглядала суперечку між:

  • Ньютоном;
  • Лейбніцем

щодо пріоритету створення математичного аналізу.

Праця «Methodus Incrementorum»

Найважливіша праця Тейлора:

Methodus Incrementorum Directa et Inversa

була опублікована у 1715 році.

У цій роботі він:

  • розвинув числення скінченних різниць;
  • сформулював теорему Тейлора;
  • дослідив коливання струн;
  • розглянув задачі механіки та оптики.

Теорема Тейлора

Найвідоміший результат Тейлора — теорема про розклад функції у степеневий ряд.

Формула:

f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f”(a)/2!(x−a)^2 + … + R_n(x)

У загальному вигляді:

f(x) = Σ(n=0→∞) [f^(n)(a)/n!] · (x−a)^n

де:

  • f^(n)(a) — n-та похідна;
  • n! — факторіал;
  • a — точка розкладу.

Ряд Тейлора

Ряд Тейлора дозволяє:

  • наближати складні функції поліномами;
  • обчислювати значення функцій;
  • аналізувати фізичні системи;
  • створювати чисельні алгоритми.

Ряд Маклорена

Окремий випадок:

a = 0

називається рядом Маклорена.

Формула:

f(x) = Σ(n=0→∞) [f^(n)(0)/n!] · x^n

Приклади розкладів

Експонента:

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …

Синус:

sin(x) = x − x^3/3! + x^5/5! − …

Косинус:

cos(x) = 1 − x^2/2! + x^4/4! − …

Логарифм:

ln(1+x) = x − x^2/2 + x^3/3 − …

Значення ряду Тейлора

Ряд Тейлора став основою:

  • математичного аналізу;
  • чисельних методів;
  • теоретичної фізики;
  • інженерії;
  • комп’ютерних наук.

Сьогодні його використовують:

  • у штучному інтелекті;
  • машинному навчанні;
  • квантовій фізиці;
  • цифровій обробці сигналів.

Теорія скінченних різниць

Тейлор створив фундамент:
числення скінченних різниць.

Скінченна різниця:

Δf(x) = f(x+h) − f(x)

Другого порядку:

Δ²f(x) = Δ(Δf(x))

Ці методи стали важливими для:

  • чисельного інтегрування;
  • інтерполяції;
  • дискретної математики;
  • комп’ютерних алгоритмів.

Дослідження коливань

Тейлор вивчав:

  • коливання струн;
  • механічні хвилі;
  • гармонічний рух.

Він був одним із перших учених, які математично описували хвильові процеси.

Хвильове рівняння

Для струни:

∂²u/∂t² = c² · ∂²u/∂x²

де:

  • u(x,t) — зміщення;
  • c — швидкість хвилі.

Центр коливань

Тейлор досліджував центр коливань тіл.

Його робота викликала суперечку з:

Johann Bernoulli

щодо пріоритету відкриття.

Лінійна перспектива

У 1715 році Тейлор опублікував:

Linear Perspective

Ця праця стала одним із перших систематичних досліджень:

  • перспективи;
  • точок сходження;
  • геометрії зображення.

Теорія перспективи

Тейлор математично описав:

  • побудову перспективи;
  • проекції;
  • правила зображення простору на площині.

Його методи вплинули:

  • на архітектуру;
  • живопис;
  • інженерну графіку.

Математичний стиль

Праці Тейлора часто вважали:

  • складними;
  • надто стислими;
  • важкими для розуміння.

Через це значення його ідей було повністю оцінене лише пізніше.

Визнання Лагранжа

У XVIII столітті:

Joseph-Louis Lagrange

назвав теорему Тейлора:
«основою диференціального числення».

Вплив на математику

Ідеї Тейлора стали фундаментом:

  • математичного аналізу;
  • теорії функцій;
  • функціонального аналізу;
  • диференціальних рівнянь.

Вплив на фізику

Ряди Тейлора використовуються:

  • у механіці;
  • електродинаміці;
  • квантовій теорії;
  • теорії відносності.

Наприклад:

sin(x) ≈ x

для малих x.

Вплив на сучасні обчислення

Комп’ютери використовують ряди Тейлора для обчислення:

  • exp(x);
  • sin(x);
  • cos(x);
  • ln(x);
  • arctan(x).

Вплив на штучний інтелект

Розклади Тейлора застосовуються:

  • у градієнтних методах;
  • оптимізації;
  • аналізі функцій втрат;
  • нейронних мережах.

Особисте життя

Тейлор двічі був одружений.

Обидві дружини померли після пологів, що сильно вплинуло на його психологічний стан.

Останні роки життя супроводжувалися:

  • погіршенням здоров’я;
  • депресією;
  • зменшенням наукової активності.

Смерть

Брук Тейлор помер у Лондоні 29 грудня 1731 року у віці 46 років.

Наукова спадщина

На честь Тейлора названо:

  • ряд Тейлора;
  • теорему Тейлора;
  • поліном Тейлора;
  • формулу Тейлора.

Поліном Тейлора

Поліном n-го порядку:

Pₙ(x) = Σ(k=0→n) [f^(k)(a)/k!] · (x−a)^k

Формула залишкового члена

Rₙ(x) = [f^(n+1)(ξ)/(n+1)!] · (x−a)^(n+1)

де:

  • ξ — точка між a та x.

Значення в історії науки

Брук Тейлор став одним із найважливіших математиків XVIII століття. Його роботи поєднали ідеї Ньютона з новими методами аналізу та відкрили шлях до сучасної математики. Теорема Тейлора сьогодні є одним із центральних інструментів математичного аналізу, фізики, інженерії, комп’ютерного моделювання та штучного інтелекту. Праці Тейлора мали вирішальний вплив на розвиток чисельних методів, теорії функцій і наукових обчислень.

Дещо інше: